Lezione 3 — Radici di un numero complesso; Equazioni complesse; Introduzione agli spazi vettoriali

Data: 11/03/2026

1. Radici $n$-esime di un numero complesso

1.1 Definizione

Dato w∈Cw \in \mathbb{C} e n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥1n \geq 1, una radice $n$-esima di ww è un numero z∈Cz \in \mathbb{C} tale che:

zn=wz^n = w

1.2 Formula per le radici

Sia w=ρ eiφw = \rho\,e^{i\varphi} (con ρ=∣w∣\rho = |w|, \varphi = \arg(w)$). Le radici $n$-esime di $w sono esattamente nn numeri distinti:

zk=ρn exp⁡ ⁣(i φ+2πkn),k=0,1,…,n−1\boxed{z_k = \sqrt[n]{\rho}\,\exp\!\left(i\,\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, n-1}

cioè:

zk=ρn(cos⁡φ+2πkn+isin⁡φ+2πkn)z_k = \sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)

Osservazioni geometriche:

1.3 Radici $n$-esime dell'unità

Il caso w=1w = 1 (cioè ρ=1\rho = 1, $\varphi = 0$) è particolarmente importante:

ωk=ei 2πkn=cos⁡2πkn+isin⁡2πkn,k=0,1,…,n−1\omega_k = e^{i\,\frac{2\pi k}{n}} = \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n}, \quad k = 0,1,\ldots,n-1

Si chiama ω=ei 2π/n\omega = e^{i\,2\pi/n} la radice primitiva $n$-esima dell'unità: tutte le altre radici sono sue potenze ωk\omega^k.

Esempio ($n=4$): Le radici quarte dell'unità sono:
z0=1,z1=i,z2=−1,z3=−iz_0 = 1,\quad z_1 = i,\quad z_2 = -1,\quad z_3 = -i

1.4 Esempio

Calcolare le radici cubiche di −8-8.

zk=2 ei π+2πk3,k=0,1,2z_k = 2\,e^{i\,\frac{\pi + 2\pi k}{3}}, \quad k = 0,1,2

z0=2eiπ/3=2 ⁣(12+i32)=1+i3z_0 = 2e^{i\pi/3} = 2\!\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}
z1=2eiπ=−2z_1 = 2e^{i\pi} = -2
z2=2ei5π/3=2 ⁣(12−i32)=1−i3z_2 = 2e^{i5\pi/3} = 2\!\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - i\sqrt{3}

2. Soluzioni di equazioni a variabile complessa

2.1 Equazioni polinomiali

Il Teorema Fondamentale dell'Algebra garantisce che ogni polinomio di grado n≥1n \geq 1 a coefficienti complessi ha esattamente nn radici in C\mathbb{C} (con molteplicità).

Esempio. Risolvere z2+2z+5=0z^2 + 2z + 5 = 0.

z=−2±4−202=−2±−162=−2±4i2=−1±2iz = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i

Le soluzioni sono z1=−1+2iz_1 = -1 + 2i e z2=−1−2iz_2 = -1 - 2i (coniugate tra loro, come sempre per polinomi a coefficienti reali).

Proprietà: Se pp ha coefficienti reali e z0z_0 è radice, allora anche zˉ0\bar{z}_0 è radice.

2.2 Equazioni del tipo zn=wz^n = w

Risolte con la formula delle radici $n$-esime vista sopra.

2.3 Equazioni con esponenziale

Esempio. Risolvere ez=−3e^z = -3.

Poniamo z=x+iyz = x + iy:

ex+iy=exeiy=−3=3ei(π+2kπ)e^{x+iy} = e^x e^{iy} = -3 = 3e^{i(\pi + 2k\pi)}

Confrontando modulo e argomento:

ex=3  ⟹  x=ln⁡3,y=π+2kπ,  k∈Ze^x = 3 \implies x = \ln 3, \qquad y = \pi + 2k\pi,\; k \in \mathbb{Z}

Soluzione: z=ln⁡3+i(π+2kπ)z = \ln 3 + i(\pi + 2k\pi), k∈Zk \in \mathbb{Z}.

3. Introduzione agli spazi vettoriali: prime definizioni

3.1 Motivazione

In matematica si incontrano spesso insiemi di oggetti (vettori geometrici, polinomi, funzioni, matrici, $n$-uple di numeri) su cui si possono fare due operazioni naturali:

  1. Sommare due elementi dell'insieme
  2. Moltiplicare un elemento per uno scalare (numero reale o complesso)

L'idea degli spazi vettoriali è astrarre queste proprietà in un'unica struttura algebrica.

3.2 Campo degli scalari

Gli scalari appartengono a un campo K\mathbb{K}, che nel corso sarà:

3.3 Prime definizioni operative

Vettore è un elemento generico di un insieme VV su cui sono definite:

Il termine vettore non si riferisce necessariamente a frecce nello spazio: può essere qualunque oggetto di VV.

3.4 Esempi prototipici

Insieme VV Scalari K\mathbb{K} Somma Prodotto per scalare
Rn\mathbb{R}^n R\mathbb{R} (x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…)(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots) λ(x1,…,xn)=(λx1,…)\lambda(x_1,\ldots,x_n) = (\lambda x_1,\ldots)
Cn\mathbb{C}^n C\mathbb{C} componente per componente componente per componente
R[x]≤n\mathbb{R}[x]_{\leq n} R\mathbb{R} somma di polinomi λ⋅p(x)\lambda \cdot p(x)
Mm×n(R)M_{m\times n}(\mathbb{R}) R\mathbb{R} somma di matrici λ⋅A\lambda \cdot A

La definizione assiomatica precisa (con tutte le proprietà richieste) sarà data nella prossima lezione.

Riepilogo

Argomento Risultato chiave
Radici n$-esime di $w = \rho e^{i\varphi} zk=ρn ei(φ+2πk)/nz_k = \sqrt[n]{\rho}\,e^{i(\varphi+2\pi k)/n}, k=0,…,n−1k=0,\ldots,n-1
Radici dell'unità ωk=ei2πk/n\omega_k = e^{i2\pi k/n}, poligono regolare
TF dell'Algebra ogni pp di grado nn ha esattamente nn radici in C\mathbb{C}
Spazio vettoriale (idea) insieme con somma e prodotto per scalare

Prossima lezione: Proprietà delle operazioni; Introduzione ai sistemi lineari; Definizione assiomatica di spazio vettoriale.