Lezione 7 — Basi canoniche; Coordinate; Estrarre una base; Dimensione

Data: 25/03/2026

1. Basi canoniche

1.1 Base canonica di $\mathbb{K}^n$

La base canonica (o standard) di $\mathbb{K}^n$ è:

$$\mathcal{E} = (e_1, e_2, \ldots, e_n)$$

dove $e_j$ è il vettore con $1$ in posizione $j$ e $0$ altrove:

$$e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},\quad e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},\quad \ldots,\quad e_n = \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\\1\end{pmatrix}$$

Ogni vettore $v = (x_1, \ldots, x_n)^T \in \mathbb{K}^n$ si scrive:

$$v = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n$$

Le coordinate di $v$ rispetto a $\mathcal{E}$ coincidono con le componenti di $v$.

1.2 Base canonica di $\mathbb{K}[x]_{\leq n}$

$$\mathcal{E} = (1, x, x^2, \ldots, x^n)$$

Il polinomio $p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$ ha coordinate $(a_0, a_1, \ldots, a_n)$.

1.3 Base canonica di $M_{m\times n}(\mathbb{K})$

$$\mathcal{E} = \{E_{ij} : 1\leq i\leq m,\; 1\leq j\leq n\}$$

dove $(E_{ij})_{hk} = \delta_{ih}\delta_{jk}$ (delta di Kronecker). Ogni matrice $A = \sum_{i,j} a_{ij} E_{ij}$.

2. Coordinate rispetto a una base

2.1 Cambio di coordinate

Siano $\mathcal{B} = (v_1,\ldots,v_n)$ e $\mathcal{B}' = (w_1,\ldots,w_n)$ due basi di $V$. Dato $v \in V$:

$$[v]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n\end{pmatrix}, \qquad [v]_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix}\mu_1\\\vdots\\\mu_n\end{pmatrix}$$

La relazione tra le due rappresentazioni è data dalla matrice di cambiamento di base $P$ (o M_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$), le cui colonne sono le coordinate dei $v_j rispetto a $\mathcal{B}'$:

$$[v]_{\mathcal{B}'} = P\,[v]_{\mathcal{B}}$$

2.2 Esempio

In $\mathbb{R}^2$: $\mathcal{B} = \{(1,0),(0,1)\}$ (canonica), $\mathcal{B}' = \{(1,1),(1,-1)\}$.

Trovare $[v]_{\mathcal{B}'}$ per $v = (3,1)$:

Risolvere $\lambda_1(1,1) + \lambda_2(1,-1) = (3,1)$:

$$\begin{cases}\lambda_1 + \lambda_2 = 3\\ \lambda_1 - \lambda_2 = 1\end{cases} \implies \lambda_1 = 2,\; \lambda_2 = 1$$

Dunque $[v]_{\mathcal{B}'} = (2,1)^T$.

3. Estrarre una base da un insieme di generatori

3.1 Il problema

Dato un sistema di generatori $\{v_1, \ldots, v_k\}$ di $V$ (potenzialmente con ridondanze), vogliamo estrarne una sottofamiglia che sia base di $V$.

3.2 Algoritmo (riduzione per righe / eliminazione di Gauss)

1. Formiamo la matrice $A$ le cui colonne sono i vettori $v_1, \ldots, v_k$ (scritti in coordinate rispetto a una base fissata).
2. Applichiamo l'eliminazione di Gauss (riduzione a scala per righe) ad $A$.
3. Le colonne corrispondenti ai pivot (colonne-pivot) nella forma a scala formano una base di $\operatorname{Span}(v_1,\ldots,v_k)$.

3.3 Esempio

Estrarre una base da $S = \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \subseteq \mathbb{R}^3$:

$$v_1 = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix},\; v_2 = \begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix},\; v_3 = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\; v_4 = \begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$$

Matrice (vettori per colonne):

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Riduzione: $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Pivot nelle colonne 1 e 3 $\implies$ base estratta: $\{v_1, v_3\}$.

Verifica: $v_2 = 2v_1$ (l.d.), $v_4 = v_1 + v_3$ (l.d.).

4. Dimensione di uno spazio vettoriale

4.1 Lemma fondamentale (di scambio di Steinitz)

Lemma di Steinitz. Se $v_1, \ldots, v_m$ sono l.i. e $w_1, \ldots, w_k$ generano $V$, allora $m \leq k$.

Conseguenza: ogni insieme l.i. ha cardinalità $\leq$ ogni sistema di generatori.

4.2 Teorema: tutte le basi hanno la stessa cardinalità

Teorema. Se $V$ ha una base finita, allora tutte le basi di $V$ hanno lo stesso numero di elementi.

Dimostrazione. Siano $\mathcal{B} = \{v_1,\ldots,v_n\}$ e $\mathcal{B}' = \{w_1,\ldots,w_m\}$ due basi. Poiché $\mathcal{B}$ genera $V$ e $\mathcal{B}'$ è l.i., per Steinitz: $m \leq n$. Per simmetria: $n \leq m$. Dunque $m = n$. $\square$

4.3 Definizione di dimensione

Definizione. La dimensione di uno spazio vettoriale $V$ su $\mathbb{K}$ è:

$$\dim_\mathbb{K}(V) = \text{numero di elementi di una qualsiasi base di } V$$

Se $V$ non ha basi finite, si dice che $V$ ha dimensione infinita e si scrive $\dim(V) = +\infty$.

Per convenzione: $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$.

4.4 Primi esempi

Osservazione. La dimensione dipende dal campo $\mathbb{K}$!

4.5 Conseguenze della dimensione

Proposizione. Sia $\dim(V) = n$. Allora:

1. Ogni insieme l.i. in $V$ ha al massimo $n$ elementi.
2. Ogni sistema di generatori di $V$ ha almeno $n$ elementi.
3. Un insieme l.i. con esattamente $n$ elementi è una base.
4. Un sistema di $n$ generatori è una base.

Questi criteri permettono di verificare che un insieme è una base senza dover controllare entrambe le condizioni.

5. Criteri pratici per le basi in $\mathbb{K}^n$

In $\mathbb{K}^n$, $n$ vettori $v_1,\ldots,v_n$ formano una base se e solo se la matrice $A = [v_1|\cdots|v_n]$ è invertibile (equivalentemente: $\det(A) \neq 0$, o rango $n$).

Riepilogo

Prossima lezione: applicazioni lineari (trasformazioni lineari), nucleo e immagine.